【求导公式及法则】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的求导公式和法则，有助于快速计算函数的导数，为后续的积分、极值分析等打下基础。本文将对常用的求导公式和法则进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅与记忆。
一、基本求导公式
以下是一些常见函数的导数公式：
| 函数 | 导数 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（$ n $ 为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、求导法则
在处理复杂函数时，需要使用一些基本的求导法则来简化计算：
| 法则名称 | 内容 |
| 常数倍法则 | $ [cf(x)]' = c f'(x) $，其中 $ c $ 为常数 |
| 和差法则 | $ [f(x) \pm g(x)]' = f'(x) \pm g'(x) $ |
| 积法则 | $ [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 商法则 | $ \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ |
| 链式法则 | 若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $ |
三、复合函数求导示例
例如：设 $ y = \sin(3x^2 + 1) $，则可使用链式法则求导：
$$
\frac{dy}{dx} = \cos(3x^2 + 1) \cdot \frac{d}{dx}(3x^2 + 1) = \cos(3x^2 + 1) \cdot 6x
$$
四、小结
掌握基本的求导公式和法则，是学习微积分的基础。通过熟练运用这些规则，可以高效地解决各种函数的导数问题。建议多做练习题，加深对公式的理解与应用能力。
如需进一步了解隐函数求导、高阶导数或参数方程求导等内容，可继续深入学习相关章节。