【矩阵相乘是什么】矩阵相乘是线性代数中的一个重要概念，常用于数学、物理、计算机科学等领域。它指的是两个矩阵按照一定规则进行运算，得到一个新的矩阵。矩阵相乘并不是简单的元素相乘，而是通过行与列的对应元素相乘后求和的方式完成的。
一、矩阵相乘的基本定义
设矩阵 A 是一个 m×n 的矩阵，矩阵 B 是一个 n×p 的矩阵，那么它们的乘积 C = A × B 将是一个 m×p 的矩阵。其中，矩阵 C 中的每个元素 c_ij 是由 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素相乘后的和。
公式表示为：
$$
c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj}
$$
二、矩阵相乘的条件
- 矩阵 A 的列数必须等于矩阵 B 的行数。
- 结果矩阵 C 的行数等于 A 的行数，列数等于 B 的列数。
三、矩阵相乘的示例
假设：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8 \\
\end{bmatrix}
$$
则：
$$
C = A \times B = \begin{bmatrix}
(1×5 + 2×7) & (1×6 + 2×8) \\
(3×5 + 4×7) & (3×6 + 4×8) \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
19 & 22 \\
43 & 50 \\
\end{bmatrix}
$$
四、矩阵相乘的性质
| 性质 | 描述 |
| 结合律 | $ A \times (B \times C) = (A \times B) \times C $ |
| 分配律 | $ A \times (B + C) = A \times B + A \times C $ |
| 不满足交换律 | 一般情况下 $ A \times B \neq B \times A $ |
| 单位矩阵 | 若 $ I $ 是单位矩阵，则 $ A \times I = I \times A = A $ |
五、总结
矩阵相乘是一种基于行与列的运算方式，其结果取决于两个矩阵的维度是否匹配。虽然计算过程较为复杂，但它是处理多维数据、解决线性方程组、图像处理等任务的重要工具。理解矩阵相乘的规则和性质，有助于在实际应用中更高效地使用矩阵运算。
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 矩阵相乘是将两个矩阵按照行乘列的方式进行运算，得到一个新的矩阵 |
| 条件 | 前一个矩阵的列数必须等于后一个矩阵的行数 |
| 结果 | 新矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数 |
| 运算规则 | 每个元素是对应行与列的乘积之和 |
| 特性 | 不满足交换律，满足结合律和分配律 |